<<
>>

Альтернативные методы построения деревьев

Подход Кокса, Росса и Рубинштейна не является единственным способом построения биномиального дерева. Вместо ограничения и = 1/(1 в уравнениях (17.2) и (17.3) можно просто ввести условие р = 0,5.
Отбрасывая в уравнениях слагаемые, содержащие высшие порядки величины А1, можно получить следующие решения.

и _ е(гд<72/2)ДН<т\/Д* сI — е{гяо2/2)Ыо\ГЫ

Такой подход позволяет построить биномиальные деревья с параметром р = 0,5 для вычисления цен индексных, валютных и фьючерсных опционов.

Эта процедура имеет преимущество над методом Кокса, Росса и Рубинштейна. Она заключается в том, что вероятность р всегда равна 0,5 независимо ни от величины а, ни от количества временных шагов. Недостатком этого метода является более сложное вычисление коэффициентов дельта, гамма и ро, поскольку стоимость базового актива в центральном узле в момент 2Д/: не совпадает со стоимостью в нулевой момент времени.

Пример 17.6

Рассмотрим девятимесячный американский опцион на покупку канадского доллара.

Текущий валютный курс равен 0,7900, безрисковая процентная ставка в США — 6% годовых, безрисковая процентная ставка в Канаде — 10% годовых, а волатильность валютного курса — 4% в год. В таком случае 5о = 0,79, К = 0,795, г = 0,06, г/ = 0,10 и Г = 0,75. Разделим срок действия опциона на трехмесячные периоды и построим дерево. Таким образом, А1 = 0,25. Вероятности, приписанные каждой ветви дерева, равны 0,5.

и _ е(0,060,100,0016)0,25+0,04^0^5 _ ^

11 = в(0,060,100,0016)0,250,04^0,25 _ д дудд

Дерево изменений валютного курса показано на рис. 17.11. Оценочная стоимость опциона равна 0,0026 долл. ?

At each node:

Upper value = Underlying Asset Price

Lower value = Option Price

Shading indicates where option is exercised

Strike price = 0,795

Discount factor per step = 0,9851

Time step, dt = 0,2500 years, 91,25 days

Probability of up move, p = 0,5000

0,8136

3,0166

0,8056

y) o,oioe

0,7978

0,0052

0,7900 0,7740

0,0026 Л 0,0000

0,7665 0,7510

0,0000 А 0,0000

0,7437

0,0000

0,7216

0,0000

Рис. 17.11.

Биномиальное дерево, построенное программой ОепуаОет для вычисления цены американского опциона на покупку канадского доллара. В каждом узле верхнее число представляет собой обменный споткурс, а нижнее — цену опциона. Все вероятности равны 0,5

Триномиальные деревья

Альтернативой биномиальным деревьям являются триномиальные. Общий вид триномиального дерева продемонстрирован на рис. 17.12. Предположим, что ри, рт и 'рд — вероятности того, что цена акции вырастет, останется неизменной или упадет на протяжении интервала длительностью Д4. Для акции, не предусматривающей выплату дивидендов, математическое ожидание и стандартное отклонение изменения цены акции (если отбросить слагаемые, содержащие множители

At высоких порядков) имеют следующий вид.

и

Кроме того,

At 1 1 2 At

12(72 V 2 / 6’ Ут 3’ lu ~ V 12гт2

Вычисления по триномиальным деревьям аналогичны вычислениям по биномиальной модели. Обход триномиального дерева начинается с конца дерева в направлении к началу. В каждом узле вычисляется стоимость исполнения и стоимость продолжения владения опционом. Стоимость продолжения равна

® (Pufu ~Ь Pmfm Pdfd)i

где fu, fm и /а — стоимости опциона, соответствующие верхнему, среднему и нижнему узлам на следующем уровне. С вычислительной точки зрения триномиальная модель эквивалентна явному конечноразностному методу, описанному в разделе 17.8.

Фиглевский и Гао предложили метод построения деревьев, при котором к дереву с высоким разрешением (highresolution tree), т.е. с малым шагом At, прививается дерево с низким разрешением, т.е. с большим шагом At. Авторы назвали этот метод моделью адаптивной сетки (adaptive mesh model). Оказывается, при вычислении стоимости американского опциона в окрестности цены исполнения и момента истечения срока действия опциона необходимо построить дерево с высоким разрешением.

<< | >>
Источник: Джон К. Халл. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. 2007

Еще по теме Альтернативные методы построения деревьев:

  1. Общая процедура построения дерева
  2. 10.1. Основные понятия и формулы. Метод альтернативной доходности
  3. Филипп Семёнычев. Стандартизованная работа. Метод построения идеального бизнеса, 2014
  4. Методы и средства построения систем информационной безопасности. Их структура
  5. 2.6.3. Построение и анализ MACD (метод конвергенции-дивергенции -схождения-расхождения)
  6. Деревья процентных ставок
  7. Принципы построения бюджетной системы и методы бюджетного регулирования
  8. Сетевая модель «дерево»
  9. Биномиальные деревья
  10. Двухступенчатые биномиальные деревья
  11. Дерево целей
  12. Дерево удовлетворенности блогами
  13. Стратагема 2. Сливовое дерево засыхает вместо персикового
  14. Использование биномиальных деревьев для оценки акций, приносящих дивиденды
  15. Биномиальные деревья
  16. Оценка фьючерсных опционов с помощью биномиальных деревьев
  17. Альтернативные и независимые проекты
  18. Альтернативные логистические стратегии
  19. Глава 7. УЧИТЕСЬ ВИДЕТЬ И ЛЕС, И ДЕРЕВЬЯ
  20. Альтернативные подходы к экономической оценке инвестиций