Альтернативные методы построения деревьев

и _ е(гд<72/2)ДН<т\/Д* сI — е{гяо2/2)Ыо\ГЫ

Такой подход позволяет построить биномиальные деревья с параметром р = 0,5 для вычисления цен индексных, валютных и фьючерсных опционов.

Эта процедура имеет преимущество над методом Кокса, Росса и Рубинштейна. Она заключается в том, что вероятность р всегда равна 0,5 независимо ни от величины а, ни от количества временных шагов. Недостатком этого метода является более сложное вычисление коэффициентов дельта, гамма и ро, поскольку стоимость базового актива в центральном узле в момент 2Д/: не совпадает со стоимостью в нулевой момент времени.

Пример 17.6

Рассмотрим девятимесячный американский опцион на покупку канадского доллара.

и _ е(0,060,100,0016)0,25+0,04^0^5 _ ^

11 = в(0,060,100,0016)0,250,04^0,25 _ д дудд

Дерево изменений валютного курса показано на рис. 17.11. Оценочная стоимость опциона равна 0,0026 долл. ?

At each node:

Upper value = Underlying Asset Price

Lower value = Option Price

Shading indicates where option is exercised

Strike price = 0,795

Discount factor per step = 0,9851

Time step, dt = 0,2500 years, 91,25 days

Probability of up move, p = 0,5000

0,8136

3,0166

0,8056

y) o,oioe

0,7978

0,0052

0,7900 0,7740

0,0026 Л 0,0000

0,7665 0,7510

0,0000 А 0,0000

0,7437

0,0000

0,7216

0,0000

Рис. 17.11.

Триномиальные деревья

Альтернативой биномиальным деревьям являются триномиальные. Общий вид триномиального дерева продемонстрирован на рис. 17.12. Предположим, что ри, рт и 'рд — вероятности того, что цена акции вырастет, останется неизменной или упадет на протяжении интервала длительностью Д4. Для акции, не предусматривающей выплату дивидендов, математическое ожидание и стандартное отклонение изменения цены акции (если отбросить слагаемые, содержащие множители

At высоких порядков) имеют следующий вид.

и

Кроме того,

At 1 1 2 At

12(72 V 2 / 6’ Ут 3’ lu ~ V 12гт2

Вычисления по триномиальным деревьям аналогичны вычислениям по биномиальной модели. Обход триномиального дерева начинается с конца дерева в направлении к началу. В каждом узле вычисляется стоимость исполнения и стоимость продолжения владения опционом. Стоимость продолжения равна

® (Pufu ~Ь Pmfm Pdfd)i

где fu, fm и /а — стоимости опциона, соответствующие верхнему, среднему и нижнему узлам на следующем уровне. С вычислительной точки зрения триномиальная модель эквивалентна явному конечноразностному методу, описанному в разделе 17.8.

Фиглевский и Гао предложили метод построения деревьев, при котором к дереву с высоким разрешением (highresolution tree), т.е. с малым шагом At, прививается дерево с низким разрешением, т.е. с большим шагом At. Авторы назвали этот метод моделью адаптивной сетки (adaptive mesh model). Оказывается, при вычислении стоимости американского опциона в окрестности цены исполнения и момента истечения срока действия опциона необходимо построить дерево с высоким разрешением.