<<
>>

Концепции, лежащие в основе дифференциального уравнения БлэкаШоулзаМертона

Дифференциальному уравнению БлэкаШоулзаМертона должна удовлетворять цена любой производной ценной бумаги, основанной на бездивидендной акции. Само уравнение будет выведено в следующем разделе, а сейчас мы проанализируем лишь суть аргументов, на которых оно базируется.

Аргументация, используемая при выводе уравнения, напоминает арбитражные рассуждения, приведенные в главе 11 при оценке стоимости фондового опциона с помощью биномиальных деревьев.

В основе модели лежит инвестиционный портфель, состоящий из позиции по деривативу и соответствующей акции. В отсутствие арбитражных возможностей доходность портфеля должна быть равной безрисковой процентной ставке г. Это предположение сразу приводит нас к уравнению БлэкаШоулзаМертона.

Поскольку колебания влияют не только на цену акций, но и на стоимость производных ценных бумаг, инвестиционный портфель, свободный от риска, вполне возможен. За любой короткий промежуток времени цена дериватива идеально коррелирует с ценой базовой акции. Создав подходящий инвестиционный портфель, можно компенсировать прибыли и убытки, обусловленные позицией по акции, убытками и прибылями, обусловленными позицией по деривативу, так что стоимость портфеля в конце короткого периода является вполне определенной величиной.

Предположим, например, что в конкретный момент времени небольшое изменение цены акции А в и результирующее небольшое приращение цены европейского опциона на покупку акции Ас связаны следующим соотношением.

Ас = 0,4А5.

Как показано на рис.

13.2, это значит, что угловой коэффициент линейной функции, связывающей величины с и 5, равен 0,4. Портфель, свободный от риска, должен состоять из следующих ценных бумаг.

1. Длинной позиции по 0,4 акции.

2. Короткой позиции по одному опциону “‘колл”.

Рис. 13.2.

Зависимость между величинами с и S

Между моделью БлэкаШоулза и методом оценки опционов с помощью биномиальных деревьев существует принципиальное различие. В первой модели позиция по акции и деривативу является свободной от риска только на очень коротком промежутке времени. (С теоретической точки зрения, она является безрисковой только на бесконечно малом промежутке времени.) Чтобы оставаться безрисковой, эта позиция должна постоянно корректироваться, или балансироваться (rebalanced). Например, сегодня приращения Ас и AS могут быть связаны отношением Ас = 0,4AS, а через две недели — Ас = 0,5А5. Следовательно, для того чтобы сохранить безрисковую позицию, инвестор должен был купить дополнительную 0,1 долю акции на каждый проданный опцион “колл”. Тем не менее, доходность портфеля, свободного от риска, за очень короткий промежуток времени действительно должна быть равной безрисковой процентной ставке. Это ключевой момент теории БлэкаШоулза.

Предположения

При выводе дифференциального уравнения БлэкаШоулзаМертона используются следующие предположения.

1. Цена акции подчиняется стохастическому процессу, описанному в главе 12, где /х и о — константы.

2. Разрешается продавать ценные бумаги без покрытия и использовать вырученные суммы в полном объеме.

3. Транзакции выполняются бесплатно. Налоги не учитываются. Все ценные бумаги допускают неограниченное деление.

4. На протяжении срока действия дериватива дивиденды не выплачиваются.

5. Арбитражные возможности, свободные от риска, отсутствуют.

6. Торговля ценными бумагами происходит непрерывно.

7. Безрисковая процентная ставка г является постоянной для всех сроков погашения.

Как указывалось в предыдущих главах, некоторые из этих условий можно ослабить. Например, величины а и г могут быть известными функциями, зависящими от ?. Можно даже разрешить случайные изменения процентных ставок, при условии что цена акции в момент завершения опциона остается логнормальной.

aaanВывод дифференциального уравнения БлэкаШоулзаМертонаaaak

sssnБудем считать, что цена акции описывается стохастическим процессом, выведенным в разделе 12.3.

АБ — цв <Й + стБ <1г.

(13.8)

Пусть / — цена опциона “колл” или другой производной ценной бумаги, основанной на акции с ценой Б. Они должны зависеть от переменных 8 и Итак, из уравнения (12.14) следует, что

,, (д/ о,д/] й2/ 2 2\ д/

*1=\д8>18+д1+2д&° )Л + В8С,8&г<13'9>?

Дискретные варианты уравнений (13.8) и (13.9) имеют следующий вид.

А Б = цБАг + аБАг. (13.10)

( $ с, ^ , 1й2/ 2Я2\АІ,^ сд Л11П

А/ = А + 2^" ® ,) д* + (Ш,)

Здесь А5' и А/ — изменения функций / и 5 на малом интервале времени Д?. Напомним, что функции / и 5 описываются одними и теми же винеровскими процессами. Иначе говоря, в уравнениях (13.10) и (13.11) величина Аг (= є\/ДЇ) принимает одно и то же значение. Отсюда следует, что винеровский процесс можно исключить, правильно подобрав состав инвестиционного портфеля, состоящего из акций и дериватива.

В частности, приемлемым является следующий портфель.

—1: дериватив,

<9/

+тгт;: акции. оЬ

Владелец такого портфеля занимает короткую позицию по одному деривативу и длинную позицию по акциям. Обозначим стоимость портфеля через П. По определению,

П =/ + §^(13.12)

Приращение АП стоимости портфеля на интервале времени Ді описывается следующей формулой.

ДП=Д/ +?А5. (13.13)

до

Подставляя уравнения (13.10) и (13.11) в уравнение (13.13), получаем

АІІ = (ЇШЛ’2)А'' (Ш4)

Поскольку это выражение не содержит величину Аг, портфель на протяжении интервала времени Д? является безрисковым. Из предположений, перечисленных в начале раздела, следует, что этот инвестиционный портфель непрерывно обеспечивает доходность на уровне той же безрисковой процентной ставки, что и другие безрисковые краткосрочные ценные бумаги. Если бы инвестор мог получить больше, арбитражеры могли бы извлечь прибыль, свободную от риска, заняв деньги, чтобы купить этот портфель. Если же прибыль инвестора была бы меньше, арбитражеры извлекли бы прибыль, свободную от риска, продав портфель без покрытия и купив безрисковые ценные бумаги.

Следовательно,

ДП = гПД?,

где г — безрисковая процентная ставка. Подставляя в равенство (13.15) величины из уравнений (13.12) и (13.14), получаем

df , ld2f _2о2\ ( &у

3( 2 dS2 ) TV 8S ^

так что

д> <8f .... 1

m+rSes + ?sm = Tf<13'|6)

Уравнение (13.16) называется дифференциальным уравнением БлэкаШоулза Мертона. Оно имеет много решений, соответствующих всевозможным производным ценным бумагам, которые можно определить для цены акции S. Для выделения из этого множества конкретного дериватива используются краевые условия (boundary conditions) по переменным S и /. Например, для европейского опциона “колл” краевое условие имеет вид

/ = тах(? — К, 0) при t = Т.

Для европейского опциона “пут” краевое условие имеет вид

/ = max(/v — S, 0) при t = Т.

Следует подчеркнуть, что инвестиционный портфель, использованный при выводе уравнения (13.16), не всегда является свободным от риска. Он является безрисковым только на бесконечно малых промежутках времени. При изменении переменных S и t производная iyq также изменяется. Чтобы сохранить портфель свободным от риска, необходимо постоянно изменять пропорции производных ценных бумаг и акций, входящих в него.

Пример 13.5

Одной из производных ценных бумаг, основанных на бездивидендных акциях, является форвардный контракт. Следовательно, его стоимость должна удовлетворять уравнению (13.16). Из уравнения (5.5) следует, что стоимость форвардного контракта / в момент t выражается через цену акции S следующим образом.

/ = SКе~г{?*\

где К — цена поставки. Отсюда следует, что

^ =г Ке«т‘> У= 1 ?J= 0 9S 7 8S ’ OS2

Подставляя эти выражения в уравнение (13.16), получим

—rKe~r(T~^ + rS.

Эта величина равна г/, что подтверждает справедливость равенства (13.16). п?

Цены котируемых деривативов

Любое решение дифференциального уравнения (13.16) /(5,#) является теоретической ценой некоего возможного дериватива. Если дериватив с такой ценой существует, арбитражные возможности создать невозможно. И наоборот, если функция /(5,0 не удовлетворяет дифференциальному уравнению (13.16), она не может быть ценой никакого дериватива без дополнительного создания арбитражных возможностей.

Чтобы проиллюстрировать это утверждение, рассмотрим функцию е3. Она не является решением уравнения (13Л6). Следовательно, ее нельзя считать ценой дериватива, зависящего от цены акции. Если на рынке постоянно существует производная ценная бумага с ценой г,с\ могут возникнуть арбитражные возможности. В качестве второго примера рассмотрим функцию

е(«х32г)(Т*)

5 ‘

Она удовлетворяет дифференциальному уравнению (13.16) и поэтому, теоретически, является ценой некоего дериватива. (Она представляет собой цену дериватива, доходность которого в момент Т равна 1 /5т) Другие примеры котируемых деривативов перечислены в задачах 13.11, 13.12, 13.23 и 13.28.

<< | >>
Источник: Джон К. Халл. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. 2007

Еще по теме Концепции, лежащие в основе дифференциального уравнения БлэкаШоулзаМертона:

  1. Проблемы, лежащие в основе совершенствования бюджетной системы
  2. 16.1. Предположения, лежащие в основе модели линейного программирования
  3. Физические законы, лежащие в основе технологии автоматической идентификации штриховых товарных кодов
  4. Управление инвестициями на основе концепции расслоенных пространств
  5. Общая концепция еженедельного побудительного сигнала на основе широты рынка
  6. Модель БлэкаШоулзаМертона
  7. Маркетинг, его основы. Понятия и концепции маркетинга
  8. 10.2. Дифференциальная земельная рента
  9. Дифференциальный доход
  10. Уравнение «инфузии»
  11. Система дифференциальных признаков юнга
  12. Ценность денег: уравнение обмена и «количественный подход»
  13. Разделение между уравнением обмена и количественной теорией
  14. Уравнение диффузии