<<
>>

15. 3. МОДЕЛЬ У. ШАРПА 15. 3. 1. Уравнение модели

Ожидаемую доходность актива можно определить не только с по­мощью уравнения SML, но также на основе так называемых индекс­ных моделей. Их суть состоит в том, что изменение доходности и це­ны актива зависит от ряда показателей, характеризующих состояние рынка, или индексов.

Простая индексная модель предложена У. Шарпом в середине 60-х годов. Ее часто называют рыночной моделью. В модели Шарпа пред­ставлена зависимость между ожидаемой доходностью актива и ожи­даемой доходностью рынка. Она предполагается линейной. Уравне­ние модели имеет следующий вид:

Е(Г ) = » +P,E(rm ) -£, (192)

где: E(r; ) — ожидаемая доходность актива;

Y; — доходность актива в отсутствии воздействия на него рыноч­ных факторов;

Pj — коэффициент бета актива;

E(rm) — ожидаемая доходность рыночного портфеля;

в; — независимая случайная переменная (ошибка): она показывает специфический риск актива, который нельзя объяснить действием рыночных сил. Значение ее средней равно нулю. Она имеет постоян­ную дисперсию; ковариацию с доходностью рынка равную нулю; ко­вариацию с нерыночным компонентом доходности других активов равную нулю.

Уравнение (192) является уравнением регрессии. Если его приме­нить к широко диверсифицированному портфелю, то значения слу­чайных переменных (в;) в силу того, что они изменяются как в поло­жительном, так и отрицательном направлении, гасят друг друга, и величина случайной переменной для портфеля в целом стремится к нулю. Поэтому для широко диверсифицированного портфеля специ­фическим риском можно пренебречь. Тогда модель Шарпа прини­мает следующий вид:

E (rp ) = Ур + PpE где: Е(гр) — ожидаемая доходность портфеля;

Pp — бета портфеля;

ур — доходность портфеля в отсутствии воздействия на него ры­ночных факторов.

Графически модель Шарпа представлена на рис.

66 и 67. Она по­казывает зависимость между доходностью рынка (r„) и доходностью актива (r) и представляет собой прямую линию. Ее называют линией характеристики. Независимой переменной выступает доходность рынка. Наклон линии характеристики определяется коэффициентом бета, а пересечение с осью ординат — значением показателя у!.
Г, специфический риск

л т ш

ш 1

. 12,32

9 »

9 Ш Щ Щ •

■ 9

■ *

■ ■

1 рыночный риск

!

-28 ■ ■ • ■ ■ | 0 гт
^^^9 » 9
Рис. 66. Уравнение рыночной подели

Бета рассчитывается по формуле:

Yj можно определить из формулы (193), взяв средние значения до­ходности рынка и актива за предыдущие периоды времени.

yi = ri fti Г m

где: r — средняя доходность актива, rm- — средняя доходность рынка.

1 Коэффициенты у1 и Р1 в уравнении регрессии можно рассчитать и с по­мощью метода определителей, который приводится в учебниках статистики.

y = 20 - 0,44 •П = 12,52%

Уравнение рыночной модели имеет вид:

E (г) = 12,52 + 0,44£ (rm) + et

Графически оно представлено на рис.

66. Точками показаны кон­кретные значения доходности i-го актива и рынка для различных мо­ментов времени в прошлом.

На рис. 66 и рис. 67 представлен случай, когда бета положительна, и поэтому график рыночной модели направлен вправо вверх, т. е. при увеличении доходности рынка доходность актива будет повышаться, при понижении — падать. При отрицательном значении беты график направлен вправо вниз, что говорит о противоположном движении доходности рынка и актива. Более крутой наклон графика говорит о высоком значении беты и большем риске актива, менее крутой на­клон — о меньшем значении беты и меньшем риске (см. рис. 68). При в = 1 доходность актива соответствует доходности рынка, за исклю­чением случайной переменной, характеризующей специфический риск.

Если построить график модели для самого рыночного портфеля относительно рыночного портфеля, то значение у для него равно ну­лю, а беты +1. Графически данная модель представлена на рис. 67.

15. 3. 2. Коэффициент детерминации

Рыночную модель можно использовать для того, чтобы разделить весь риск актива на дивесифицируемый и недиверсифицируемый, Графически специфический и рыночный риски представлены на рис. 68. Согласно модели Шарпа дисперсия актива равна:

var(r) = var(y,. + $ггт +et) = Д. 2ат 2 + 2piCovm + ащ

где: var — дисперсия.

Так как Covm = 0, то можно записать, что

^2 =в 2°т2 +^2 E (195)

Q 2 2

где: Jpi om — рыночный риск актива,

Ош — нерыночный риск актива.

Пример.

Pj = 0, 44, от =0, 3, О; = 0, 32. Определить рыночный и нерыночный риски.

Рыночный риск = Р12оп,2 = (0, 44)2 (0, 3)2 = 0, 0174 Нерыночный риск = о;2 - Р; om2 = 0, 1024 - 0, 0174 = 0, 085 Для вычисления доли дисперсии актива, которая определяется рынком, используют коэффициент детерминации (R2). Он представ­ляет собой отношение объясняемой рынком дисперсии актива к его общей дисперсии.

r 2 = вОт (196)

О г

Как уже известно,

Д = —СоГГг,т От

Подставив данное значение в формулу (196), получим результат, ко­торый говорит о том, что коэффициент детерминации — это квадрат коэффициента корреляции.

R2 = (СоГГг т )2 (197)

В последнем примере R-квадрат равен 0, 1699. Это означает, что изменение доходности рассматриваемого актива можно на 16, 99% объяснить изменением доходности рынка, а на 83, 01% — другими факторами. Чем ближе значение R-квадрат к единице, тем в большей степени движение рынка определяет изменение доходности актива. Обычное значение R-квадрат в западной экономике составляет по­рядка 0, 3, т. е. 30% изменения его доходности определяется рынком. R-квадрат для широко диверсифицированного портфеля может со­ставлять 0, 9 и большую величину.

15. 3. 3. САРМ и модель Шарпа

Чтобы лучше понять САРМ и модель Шарпа, проведем между ними сравнение. САРМ и модель Шарпа предполагают наличие эф­фективного рынка. В САРМ устанавливается зависимость между риском и доходностью актива. Независимыми переменными высту­пают бета (для SML) или стандартное отклонение (для CML), зави­симой — доходность актива (портфеля).

В модели Шарпа доходность актива зависит от доходности рынка. Независимая переменная — это доходность рынка, зависимая — до­ходность актива.

SML, CML и линия характеристики в модели Шарпа пересекают ось ординат в различных точках. Для SML и СML — это ставка без риска, для линии характеристики — значение у. Между значением у в модели Шарпа и ставкой без риска можно установить определенную взаимосвязь. Запишем уравнение SML и раскроем скобки:

Е(r ) = rf + Рг [Е(rm )- rf \ = rf + РгЕ(rm ) - Д ^

или

E (rt) = rf (1 -pt) + PtE (rm )

Поскольку слагаемое в^Гщ) является общим для SML и модели Шарпа, то:

У, = r(1 -Pt) (198)

Из уравнения (198) следует, что для актива с бетой равной единице у будет приблизительно равен нулю. Для актива с P0, а для Р>1 У0 и Р>1, то это означает, что он в любых условиях будет приносить результа­ты лучше, чем результаты рынка. Однако такая ситуация привлекла бы повышенное внимание инвесторов, и вследствие изменения его цены установилась бы отмеченная выше закономерность.

Модель САРМ является равновесной моделью, т. е. она говорит о том, каким образом в условиях эффективного рынка устанавливают­ся цены финансовых активов. Модель Шарпа является индексной мо­делью, т. е. она показывает, каким образом доходность актива связа­на со значением рыночного индекса. Теоретически САРМ предпо­лагает рыночный портфель, и поэтому величина в в САРМ предпола­гает ковариацию доходности актива со всем рынком. В индексной модели учитывается только какой-либо рыночный индекс, и бета го­ворит о ковариации доходности актива с доходностью рыночного индекса. Поэтому теоретически в в САРМ не равна в в модели Шар­па. Однако на практике невозможно сформировать действительно рыночный портфель и таким портфелем в САРМ также выступает некоторый рыночный индекс с широкой базой. Если в САРМ и моде­ли Шарпа используется один и тот же рыночный индекс, то в для них будет величиной одинаковой.

15. 3. 4. Определение набора эффективных портфелей

Рассматривая вопрос об эффективной границе, мы привели метод Марковца определения набора эффективных портфелей. Неудобство его состоит в том, что для вычисления риска широко диверсифициро­ванного портфел" необходимо сделать большое число расчетов. Мо­дель Шарпа по; г сократить число единиц требуемой информа­

ции. Так, вместо 2 единиц информации по методу Марковца,

при использовании модели Шарпа необходимо только 3n + 2 едини­цы информации. Такое упрощение достигается благодаря следующим

преобразованиям. Ковариация i-го и j-го активов на основе уравне­ния Шарпа равна:

С°\} =Pi PjPm 2 + Pi,j (199)

Если i =j, то oi> j = oi2 Если i^j, то oi> j = 0

Для определения риска портфеля подставим формулу (199) в фор­мулу, предложенную Марковцем:

n n n n

p, = YLe,(M,°2-+°ч)=

i=1 j=1 i=1 j=1

= ЦвА1 Pi PjP m +±0\o2 i ) =

i=1 j=1 i=1

<< | >>
Источник: Буренин Алексей Николаевич. Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов. 1998

Еще по теме 15. 3. МОДЕЛЬ У. ШАРПА 15. 3. 1. Уравнение модели:

  1. Оптимизация портфеля с помощью модели Шарпа
  2. Слияния и поглощения компаний с различными моделями сбыта, моделями оплаты труда и корпоративными ценностями
  3. Классификация моделей. Понятие модели
  4. SADT-модели систем. Концепция и принципы построения SADT-модели
  5. Сетевые модели. Основные понятия и классы сетевых моделей
  6. Сравнительный анализ моделей
  7. 13.3. Ценовые модели
  8. Модели принятия решений
  9. Аддитивная модель РБ
  10. Структура и классификация прогнозных моделей
  11. 15. 4. МНОГОФАКТОРНЫЕ МОДЕЛИ
  12. Модель Штакельберга