<<
>>

Несколько переменных состояния

Предположим, что несколько переменных в\, (>2, ..., вп описываются стохастическими процессами

~ = rriidt + Sidzi, г = 1,2 (25.11)

где dzi — винеровские процессы. Параметры ггц и s,; представляют собой ожидаемую скорость роста и волатильность соответственно.

Они могут зависеть от переменных Qi и времени. В приложении 25.1 приведен вариант леммы Ито для функций, зависящих от нескольких переменных. Из нее следует, что процесс, описывающий поведение стоимости ценной бумаги /, зависящей от переменных вг, имеет СЛедуЮЩИЙ ВИД.

df , V,

— = ц dt + > 4Qjdzj.?

В этом уравнении величина ц представляет собой ожидаемую доходность ценной бумаги, а величина щ — компонент риска этой доходности, связанный С переменной

В приложении 25.1 показано, что

(25.13)

где \ — рыночная цена, риска, связанного с переменной 0г. Это равенство связывает избыточную доходность, ожидаемую инвесторами, с величинами Лг и ст1. Равенство (25.9) представляет собой частный случай равенства (25.13) при п = 1.

Член \{Ог в правой части равенства определяет, насколько зависимость цены дериватива от переменной влияет на ожидаемую избыточную доходность. Если = 0, то эффект отсутствует; если \гп.^ > 0, то инвесторы ожидают более высокой компенсации за риск, связанный с переменной 0$; если \{Ог < 0, то зависимость ценной бумаги от переменной вг вынуждает инвесторов смириться с более низкой доходностью, чем можно было бы ожидать. Ситуация, когда \го,; < 0, возникает, когда переменная снижает, а не увеличивает риск, которому подвергается инвестиционный портфель типичного инвестора.

Пример 25.3

Цена определенной акции зависит от трех переменных: цены на нефть, цены на золото и величины фондового индекса. Предположим, что рыночные цены риска, связанного с этими переменными, равны 0,2, —0,1 и —0,4 соответственно.

Допустим также, что множители ег в уравнении (25.12), связывающем эти три переменные, равны 0,05, 0,1 и 0,15 соответственно. Избыточная доходность акций равна

0,2 x 0,050,1 x 0,1 + 0,4 x 0,15 = 0,06,

т.е. 6,0% годовых. Если на стоимость ценной бумаги влияют еще какиелибо переменные, то этот результат останется правильным при условии, что рыночная цена риска, связанного с каждой из дополнительных переменных, равна нулю. ?

Равенство (25.13) тесно связано с арбитражной теорией расчетов (arbitrage pricing theory), разработанной Стивеном Россом (Stephen Ross) в 1976 году. Модель оценки капитальных активов с непрерывным временем (САРМ — capital asset pricing model) представляет собой частный случай модели, предложенной Россом. ОДодель САРМ утверждает, будто инвесторы требуют, чтобы избыточная доходность компенсировала любой риск, коррелирующий с риском, которому подвергается доходность фондового рынка, но не требуют компенсации других рисков. Риски, коррелирующие с риском, которому подвергается доходность фондового

рынка, называются систематическими (systematic), а другие риски называются несистематическими (nonsystematic). Если модель САРМ верна, то величина А, прямо пропорциональна коэффициенту корреляции между изменениями переменной в., и доходностью всего рынка. Если переменная в{ не коррелирует с доходностью всего рынка, то величина А* равна нулю.

<< | >>
Источник: Джон К. Халл. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. 2007

Еще по теме Несколько переменных состояния:

  1. 5.1. Динамика переменных издержек
  2. Эндогенные и экзогенные переменные
  3. Переменная часть
  4. Постоянные и переменные издержки
  5. Анализ внутренних ситуационных переменных
  6. Выбор переменных
  7. ситуационными переменными
  8. Производство с одним переменным вводимым фактором
  9. Переменная часть дохода топ-менеджера
  10. Сравнение индивидуального и систематического вклада переменных
  11. Производство с двумя переменными факторами
  12. Особенности уплаты государственной пошлины за государственную регистрацию актов гражданского состояния и другие юридически значимые действия, совершаемые органами записи актов гражданского состояния и иными уполномоченными органами
  13. Вклад каждой из переменных по отдельности
  14. Переменные
  15. Размеры государственной пошлины за государственную регистрацию актов гражданского состояния и другие юридически значимые действия, совершаемые органами записи актов гражданского состояния и иными уполномоченными органами.
  16. Размеры государственной пошлины за государственную регистрацию актов гражданского состояния и другие юридически значимые действия, совершаемые органами записи актов гражданского состояния и иными уполномоченными органами