Риск нейтральная оценка

Если бы в дифференциальное уравнение БлэкаШоулзаМертона входила ожидаемая доходность акции //, оно оказалось бы зависящим от рисковых предпочтений инвесторов. Чем больше инвестор не любит рисковать, тем выше величина /х для конкретной акции. К счастью, в выводе уравнения (13.16) величина ц участия не принимает.

Поскольку дифференциальное уравнение БлэкаШоулзаМертона не зависит от рисковых предпочтений инвесторов, можно воспользоваться остроумным приемом.

любой набор рисковых предпочтений. В частности, можно просто предположить, что все инвесторы являются безразличными к риску.

В мире риск нейтральных инвесторов ожидаемая доходность всех ценных бумаг равна безрисковой процентной ставке г. Причина этого явления заключается в том, что такие инвесторы не требуют дополнительной компенсации за риск. Кроме того, в риск нейтральном мире текущую стоимость наличных сумм можно получить, учтя ожидаемую стоимость безрисковой процентной ставки. Следовательно, предположение о существовании риск нейтральных условий значительно упрощает анализ производных ценных бумаг.

Рассмотрим дериватив, который приносит прибыль в определенный момент времени.

1. Предположим, что ожидаемая доходность базового актива равна безрисковой процентной ставке г (т.е. /л = г).

2. Вычислим ожидаемую прибыль от дериватива.

3. Сделаем скидку на величину безрисковой процентной ставки.

Необходимо отдавать себе отчет, что риск нейтральные оценки, т.е. оценки, основанные на предположении о том, что все инвесторы являются риск нейтральными, являются просто искусственным способом решения дифференциального уравнения БлэкаШоулза. Они справедливы не только для риск нейтральных ситуаций, но и для всех остальных. При переходе из риск нейтрального мира в реальный происходят две вещи: изменяется ожидаемая скорость изменения цены акции и из любой прибыли, полученной благодаря изменению стоимости дериватива, вычитается ставка дисконта. Оказывается, эти два изменения полностью компенсируют друг друга.

Применение модели БлэкаШоулза для оценки форвардных контрактов на поставку акций

В разделе 5.7 мы оценили форвардный контракт на поставку бездивидендных акций. Рассматривая пример 13.5, мы убедились, что полученная формула для вычисления цены удовлетворяет дифференциальному уравнению БлэкаШоулза. В этом разделе мы выведем риск нейтральную формулу для вычисления цены. В дальнейшем будем считать, что процентная ставка г является постоянной. Это условие является немного более строгим, чем условие, использованное в главе 5.

Рассмотрим длинную позицию по форвардному контракту, срок действия которого равен Т, а цена поставки равна К. Как указано на рис. 1.2, стоимость этого контракта в момент истечения срока его действия равна

5гК,

где Бт — цена акции в момент Т. Применяя методы риск нейтральной оценки, приходим к выводу, что стоимость этого форвардного контракта в нулевой момент времени равна его ожидаемой стоимости в момент Т, дисконтированной по безрисковой процентной ставке. Обозначим стоимость форвардного контракта в нулевой момент времени через /. Тогда

/ = е~гТЁ(БтК),

где Е — ожидаемая стоимость контракта в риск нейтральном мире. Поскольку величина К является постоянной, эта формула принимает следующий вид.

/е~гТЁ(Бт)Ке~гТ. (13.17)

Ожидаемая скорость роста цены акции ц в риск нейтральных условиях становится равной ставке г. Следовательно, из равенства (13.4) получаем, что

Ё (Бт) = 5оегТ. (13.18)

Подставляя выражение (13.18) в формулу (13.17), приходим к следующему выводу.

/ = Б0Ке~гТ. (13.19)

Этот результат совпадает с формулой (5.5).