<<
>>

3.1. Решаем двухфакторное уравнение регрессии

В главе 2 мы выяснили, что в однофакторном (с одной независимой переменной «Порядковый номер торгового дня») уравнении регрессии присутствует автокорреляция в остатках, ухудшающая качество прогноза по курсу доллара.

В связи с этим возникает задача ее устранить.

С этой целью включим в уравнение регрессии новую переменную – «Остатки с лагом (отставанием) в один день». Их мы нашли по однофакторному уравнению регрессии, решением которого занимались в главе 2.

Таким образом, вставив вторую переменную в новое уравнение регрессии, попробуем избавиться от автокорреляции в остатках и повысить точность прогноза. В результате получим двухфакторное уравнение линейного тренда:

Y=AXt+BXo+C

Где Y – результативная (зависимая) переменная «Курс доллара к рублю»; C – свободный член уравнения (константа) или исходный уровень тренда; A и B – коэффициенты при независмых переменных; независимые переменные Xt – «Порядковый номер торгового дня» и Xo‑ «Остатки с лагом в один день» (получены после решения однофакторного уравнения регрессии).

На рабочем листе Excel включенные в уравнение регрессии переменные будут размещены следующим образом – см. таблицу 3.1. При этом «Остатки с лагом в один день» для наблюдения 1, то есть для 27 июня 2014 года, приравняем к нулю, поскольку на начало торгов в этот день у нас об их величине нет информации. В то время как остаток по итогам торгов 27 июня 2014 года, полученный после решения однофакторного уравнения, будем использовать для прогнозирования расчетного курса доллара к рублю для наблюдения 2, то есть на 30 июня 2014 года. В свою очередь остаток, полученный по итогам торгов 30 июня 2014 года, будем использовать для прогнозирования расчетного курса доллара к рублю для наблюдения 3, то есть на 1 июля 2014 года. Иначе говоря, остатки, полученные для каждого торгового дня после решения однофакторного уравнения, будем использовать в двухфакторном уравнении, где у нас появится новая переменная ‑ «Остатки с лагом в один день».

Таблица 3.1. Данные по курсу доллара к рублю, нумерации торговых дней и остаткам с лагом в один день

Источник: расчеты автора и данные Банка России

Воспользуемся алгоритмом № 5. «Как решить уравнение регрессии в Excel» из главы 2, чтобы решить новое уравнение регрессии. Алгоритм действий будет аналогичным за исключением того, что в это уравнение регрессии будут включены две независимые переменные, о которых мы уже говорили – Xt и Xo, а также зависимая от них результативная переменная Y.

Однако прежде чем приступить к решению двухфакторного уравнения регрессии приведем краткий алгоритм оценки адекватности уравнения регрессии на основе вывода итогов, оценки средней ошибки аппроксимации и выявления автокорреляции в остатках. Этим мы уже занимались в главе 2, но в данном случае этот алгоритм представляет собой краткое резюме для проверки адекватности уравнений регрессии. Им читателю будет удобно пользоваться при оценке адекватности решенных им уравнений регрессии.

Алгоритм № 6 «Оценка адекватности уравнения регрессии».

Шаг 1. Принятие решения о статистической значимости уравнения регрессии.

1.1. Чем ближе R-квадрат или нормированный R-квадрат (если сравниваются уравнения регрессии с различным количеством включенных в него независимых переменных) к 1, тем лучше, что дает отличный критерий для выбора одного из нескольких уравнений регрессии.

1.2. Значимость F должна быть меньше 0,05 – при 5% уровне статистической значимости или 95% уровне надежности; должна быть меньше 0,01 ‑ при 1% уровне статистической значимости или 99% уровне надежности.

Шаг 2. Принятие решения о статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии .

2.1. P-Значение должно быть меньше 0,05 – при 5% уровне статистической значимости или 95% уровне надежности; P-Значение должно быть меньше 0,01 ‑ при 1% уровне статистической значимости или 99% уровне надежности.

2.2. Коэффициенты регрессии и свободного члена при переходе от столбца Нижние и к столбцу Верхние (при заданном уровне надежности) не должны менять свой знак. Если смена знака происходит, то коэффициенты данного уравнения регрессии считаются статистически незначимыми.

Шаг 3. Принятие решения о возможности прогнозирования по данной статистической модели.

3.1. Средняя ошибка аппроксимации не должна быть выше 7-10%.

Шаг 4. Проверка автокорреляции в остатках.

4.1. Проверка графическим способом остатков, полученных после решения уравнения регрессии, на наличие в них автокорреляции. В случае обнаружения автокорреляции в остатках это уравнение регрессии не годится для прогнозирования. Для устранения автокорреляции в остатках существует ряд способов. Но мы для ее устранения будем решать двухфакторное уравнение регрессии, включив в него новую переменную ‑ «Остатки с лагом в один день».

Используем алгоритм № 6 «Оценка адекватности уравнения регрессии» для анализа информации, полученной после вывода итогов по двухфакторному уравнению регрессии. Судя по таблице 3.2, R2 в данном случае оказался равен 0,9808, Иначе говоря, это уравнение регрессии объясняет 98,08% всех колебаний зависимой (результативной) переменной «Курс доллара к рублю». При этом нормированный R2 равен 0,9805, то есть больше нормированного R2=0,8923, полученного после решения однофакторного уравнения. Следовательно, по этому критерию двухфакторному уравнению, безусловно, нужно отдать предпочтение.

Таблица 3.2. Регрессионная статистика

Источник: расчеты автора

В таблице 3.3 нас интересует Значимость F, которое первоначально Excel дает в экспоненциальном виде. Но с помощью опции ФОРМАТ ЯЧЕЕК мы преобразовали его в числовой вид и убедились, что Значимость F =0,00. Следовательно, в данном случае значимость F меньше 0,01, то есть можно сделать вывод, об 1% статистической значимости полученного нами двухфакторного уравнения регрессии (или 99% уровнем надежности).

Таблица 3.3. Дисперсионный анализ

Источник: расчеты автора

В таблице 3.4 надо обратить внимание на P-Значения коэффициентов уравнения регрессии, которые первоначально Excel дает в экспоненциальном виде. Но с помощью опции ФОРМАТ ЯЧЕЕК мы преобразовали их в числовой вид. При этом все три P-Значения равны 0,00. Следовательно, в данном случае P-Значения меньше 0,01, то есть можно сделать вывод, об 1% статистической значимости всех коэффициентов полученного нами двухфакторного уравнения регрессии (или 99% уровнем надежности). При этом все коэффициенты данного уравнения регрессии при переходе от столбца Нижние и к столбцу Верхние (при заданном уровне надежности) не меняют свой знак. Заметим, что столбцы Нижние и Верхние дают нижнюю и верхнюю границу интервальной оценки величины коэффициента регрессии. И если у них будут разные знаки, то прогнозировать по такому уравнению регрессии будет невозможно, поскольку мы будем получать противоречивые оценки.

Используя коэффициенты из таблицы 3.4, двухфакторное уравнение регрессии в общем (буквенном) виде: Y=AXt+BXo+C легко преобразовать в числовой вид (с округлением после запятой на четыре знака):

Y=0,1249Xt+0,9426Xo+32,0329

Интерпретация этого уравнения регрессии следующая: 1. За период с 27 июня по 28 ноября 2014 года с каждым торговым днем (увеличением номера торгового дня Xt на одну единицу) курс доллара Y в среднем вырастал на 12,49 копейки; 2. Рост величины остатка с лагом в один день Xo на 1 рубль за этот же период приводил к росту курса доллара Y в среднем на 94,26 копейки; 3. При исходном уровне, то есть расчетным значением курса доллара к рублю перед началом торгов 27 июня 2014 года, равном 32,0329 рублей.

Таблица 3.4. Коэффициенты уравнения регрессии

Источник: расчеты автора

В таблице 3.5 даются найденные по двухфакторному уравнению регрессии расчетные значения курса доллара yрасчет (см. раздел Предсказанное Курс доллара к рублю и остатки (см. раздел Остатки). Расчетный курс доллара к рублю вычисляется для торгового дня № 1 по уже найденному нами двухфакторному уравнению регрессии:

Y расчет =0,1249Xt+0,9426Xo+32,0329=0,1249*1+0,9426*0+32,0329=32,1578

Таким образом для наблюдения 1, то есть для торгового дня с порядковым № 1 (27 июня 2014 года), расчетный курс доллара к рублю оказался равен 32,1578 рублям. При этом остаток для каждого наблюдения (торгового дня) находится путем вычитания из фактического курса доллара его расчетного значения на этот торговый день. Так, фактический курс доллара для торгового дня № 1 равен 33,6306 рублей. Тогда остаток для этого наблюдения равен:

Остаток для наблюдения 1 равен 33,6306-32,1578=1,4728 рублей.

Остатки, полученные после решения двухфакторного уравнения регрессии, представлены в таблице 3.5.

Таблица 3.5. Вывод остатка

Источник: расчеты автора

Теперь оценим относительную точность двухфакторного уравнения регрессии с учетом величины полученных остатков, как это мы уже делали в главе 2, заполняя таблицу 2.6 по итогам решения однофакторного уравнения регрессии. Напомню, что «Остатки по модулю» можно получить, используя функцию ABS. В результате получим таблицу 3.6.

Как мы это уже делали в предыдущей главе, чтобы найти среднюю ошибку аппроксимации (в %) для каждого наблюдения, надо его «Остаток по модулю» поделить на «Фактический курс доллара к рублю», а полученный результат умножить на 100. Так, для наблюдения 1, «Средняя ошибка аппроксимации»= 1,4728/33,6306*100=4,8%.

После того как мы найдем для всех наблюдений средние ошибки аппроксимации, их нужно сложить. В результате получим итоговую сумму = 90,2– см. таблицу 3.6. Потом эту сумму нужно поделить на общее количество наблюдений, то есть в данном случае на 109. В результате выяснится, что средняя ошибка аппроксимации для двухфакторного уравнения регрессии равна 0,8%. В то время как средняя ошибка аппроксимации у однофакторного уравнения была равна 2,9%, то есть существенно больше.

Таблица 3.6. Оценка средней ошибки аппроксимации, в %

Источник: расчеты автора и данные Банка России

Теперь посмотрим, есть ли автокорреляция в остатках, полученных после решения двухфакторного уравнения регрессии. Поскольку мы планируем делать прогнозы с прогнозируемым горизонтом в один день, то нам нужно посмотреть – нет ли автокорреляции в остатках с лагом в один торговый день. С этой целью построим таблицу 3.7. При этом будем действовать так же, как при заполнении таблицы 2.7.

Таблица 3.7. Тестирование на автокорреляцию в остатках двухфакторного уравнения регрессии

Источник: расчеты автора

На основе данных этой таблицы и используя алгоритм № 2 «Построение графика в Microsoft Excel» можно построить график зависимости «Остатков» от «Остатков с лагом в один торговый день». Правда, в шаге 2 этого алгоритма нужно щелкнуть левой кнопкой мышки не опцию График (подходит к анализу зависимости результативной переменной от независимой переменной – время, порядковый номер месяца, торгового дня и т.д.), а опцию ТОЧЕЧНЫЙ (подходит к анализу зависимости результативной переменной от независимой переменной, не обозначающей время).

В результате получим следующий график зависимости «Остатков» от «Остатков с лагом в один торговый день»‑ см. рис.3.1. Судя по тому, что точки на графике разбросаны по кругу в хаотичном порядке, можно сделать вывод об отсутствии автокорреляции в остатках. Построенный на основе графика данных тренд также говорит о низкой величине R2=0,0005, то есть он объясняет лишь 0,05% всей динамики результативной (зависимой) переменной.

Рис. 3.1

Используя уже апробированный в главах 2 и 3 алгоритм действий № 5 «Как решить уравнение регрессии в Excel», можно решить уравнение регрессии с этими двумя переменными – результативной переменной «Остатки, Y» и независимой переменной «Остатки с лагом в один торговый день, X». В результате выяснится, что как само уравнение регрессии, так и его члены, оказались статистически незначимыми, что подтверждает наш вывод об отсутствии автокорреляции в остатках двухфакторного уравнения регрессии, сделанный на основе графика на рис. 3.1.

<< | >>
Источник: Владимир Брюков. Как предсказать курс доллара. 2017

Еще по теме 3.1. Решаем двухфакторное уравнение регрессии:

  1. Уравнение «инфузии»
  2. Применение Трендовых Каналов Регрессии
  3. Концепции, лежащие в основе дифференциального уравнения БлэкаШоулзаМертона
  4. Средняя регрессия
  5. Ценность денег: уравнение обмена и «количественный подход»
  6. Разделение между уравнением обмена и количественной теорией
  7. Уравнение диффузии
  8. Уравнение Свободы/Производительности
  9. Регресс
  10. Когда Минфин регрессию запрещает
  11. Осознайте роль дифференциации в бизнес-уравнении
  12. Комбинирование Анализа Волны Эллиота с Трендовыми Каналами Регрессии Май 96 Какао, Покупка Второго Типа Дневной График
  13. Комбинирование Анализа Волны Эллиота с Трендовыми Каналами Регрессии Июль 96 Масло из Бобов, Покупка Второго Типа Дневной График
  14. Дальнейшие Примеры Применения Трендовых Каналов Регрессии
  15. Комбинирование Анализа Волны Эллиота с Трендовыми Каналами Регрессии Dollar Index Cash (Индекс Долларовой Наличности), Покупка Первого Типа Дневной График