<<
>>

Глава 23 Фиксированная точка, плавающая точка

В повседневной жизни мы легко оперируем целыми числами, дробями и процентами одновременно. Мы покупаем полдесятка яиц, заплатив налог в размере 8¼ процента из денег, полученных за 2¾ часа сверхурочной работы, оплаченной по тарифу, в полтора раза превышающему обычный.

Большинство людей не испытывают трудностей при использовании таких величин. Услышав от статистиков о том, что «среднее американское домохозяйство состоит из 2,6 человека», мы не ужасаемся при мысли о связанных с этим повсеместных увечьях.

Тем не менее когда дело касается компьютерной памяти, переключение между целыми и дробными числами оказывается сложнее. Да, все данные хранятся в компьютерах в виде битов, то есть в виде двоичных чисел. Однако одни виды чисел выразить в битах гораздо легче, чем другие.

Сначала мы использовали биты для представления положительных целых или положительных натуральных чисел. Мы также узнали, как с помощью дополнения до двух можно отобразить отрицательные целые числа, чтобы упростить операцию сложения.

В следующей таблице показано, какие диапазоны положительных и отрицательных целых чисел (отрицательные числа выражены с помощью дополнения до двух) можно хранить в ячейках памяти емкостью 8, 16 и 32 бит.

Число битов

Диапазон целых положительных чисел

Диапазон целых отрицательных чисел

8

От 0 до 255

От –128 до 127

16

От 0 до 65 535

От –32 768 до 32 767

32

От 0 до 4 294 967 295

От –2 147 483 648 до 2 147 483 647

Однако на этом мы и остановились. Помимо целых чисел математики также различают рациональные числа, которые могут быть представлены в качестве отношения двух целых чисел. Это отношение также называется дробью. Например, дробь ¾ — рациональное число, отношение чисел 3 и 4. Это число также можно записать в виде десятичной дроби: 0,75.

Десятичная дробь остается отношением двух чисел, в данном случае 75/100.

В главе 7 рассказывалось, что в десятичной системе счисления цифры слева от десятичного разделителя являются множителями целых положительных степеней числа 10, а цифры справа — множителями целых отрицательных степеней числа 10. В одном из примеров я показал, что число 42 705,684 равно:

4 ? 10 000 +

2 ? 1000 +

7 ? 100 +

0 ? 10 +

5 ? 1 +

6 ÷ 10 +

8 ÷ 100 +

4 ÷ 1000.

Обратите внимание на знаки деления. Затем я представил эту последовательность операций без деления:

4 ? 10 000 +

2 ? 1000 +

7 ? 100 +

0 ? 10 +

5 ? 1 +

6 ? 0,1 +

8 ? 0,01 +

4 ? 0,001.

И наконец, отобразил это число, используя степени числа 10:

4 ? 104 +

2 ? 103 +

7 ? 102 +

0 ? 101 +

5 ? 100 +

6 ? 10–1 +

8 ? 10–2 +

4 ? 10–3.

Существуют рациональные числа, которые не так легко представить в виде десятичной дроби, например ⅓. Если вы разделите 1 на 3, то получите следующее.

0,33333333333333333333333333333333333333333333333333333…

И так до бесконечности. Подобная дробь называется периодической и записывается 0,(3). Несмотря на то что запись числа ⅓ в виде десятичной дроби выглядит неуклюже, это число по-прежнему является рациональным, поскольку это отношение двух целых чисел. Вот еще один пример: отношение 1/7 можно записать в виде десятичной дроби.

0,1428571428571428571428571428571428571428571428571428571…

Или

Иррациональные числа — это числа, которые нельзя выразить в виде отношения двух целых чисел, значит, десятичная дробь продолжается бесконечно без повторяющихся последовательностей цифр. К числам такого типа относится квадратный корень из 2.

√2 ≈ 1,41421356237309504880168872420969807856967187537695…

Квадратный корень из 2 — решение следующего алгебраического уравнения:

x2 – 2 = 0.

Если число не является решением какого-либо алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами, оно называется трансцендентным.

(Все трансцендентные числа иррациональны, однако не все иррациональные числа трансцендентны.) К трансцендентным числам относится число π, представляющее отношение длины окружности к ее диаметру и приблизительно равное следующему.

3,1415926535897932846264338327950288419716939937511…

Еще одним трансцендентным числом является e, к которому стремится выражение:

при n, стремящемся к бесконечности. Данное число приблизительно равно следующему.

2,71828182845904523536028747135266249775724709369996…

Все числа, о которых мы говорили, то есть рациональные и иррациональные, называются действительными, или вещественными. Это обозначение отличает их от мнимых — квадратных корней из отрицательных чисел. Комплексные числа — это комбинации мнимых и вещественных чисел. Несмотря на свое название, мнимые числа существуют и используются, например при решении некоторых сложных задач по электронике.

Мы привыкли считать, что числовой ряд непрерывен. Если вы дадите два рациональных числа, я определю, какое число находится между ними. Для этого достаточно найти их среднее арифметическое. Однако цифровые компьютеры не могут работать с континуумами. Биты могут быть равны либо 0, либо 1, между которыми нет больше никаких значений. Так что цифровые компьютеры могут иметь дело только с дискретными значениями. Количество дискретных значений, которые вы можете представить, напрямую связано с количеством доступных битов. Например, в ячейках емкостью 32 бита можно хранить положительные целые числа в диапазоне от 0 до 4 294 967 295. При необходимости сохранить значение 4,5 придется пересмотреть этот подход и действовать иначе.

Можно ли представить дробные значения в двоичном формате? Да, можно. Вероятно, самый простой подход — использование двоично-десятичного кода (BCD). Как говорилось в главе 19, кодировка BCD позволяет записать десятичные числа в двоичном формате. Для кодирования каждой десятичной цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9) требуется четыре бита.

Десятичная цифра

Двоичное значение

0

0000

1

0001

2

0010

3

0011

4

0100

5

0101

6

0110

7

0111

8

1000

9

1001

Формат BCD особенно полезен в компьютерных программах, которые работают с денежными суммами. Самые очевидные примеры — программы для банков и страховых компаний; многие дробные числа в них предусматривают не более двух знаков после десятичного разделителя.

Как правило, для хранения двух BCD-цифр достаточно одного байта. Такая система записи иногда называется упакованным кодом ВСD. В такой кодировке не используется дополнение до двух. По этой причине в случае упакованного кода BCD для указания того, является ли число положительным или отрицательным, обычно требуется дополнительный бит, называемый знаковым битом. Поскольку для хранения BCD-значения удобно выделять целое число байтов, под бит знака обычно отводится четыре или восемь бит памяти.

Предположим, что сумма денег, которой должна оперировать ваша компьютерная программа, никогда не превысит ±10 миллионов долларов. Другими словами, вам требуются значения от –9 999 999,99 до 9 999 999,99. Можно выделить по пять байт памяти для каждой сохраняемой суммы в долларах. Например, число –4 325 120,25 можно представить посредством пяти байт.

В шестнадцатеричном формате это эквивалентно следующей записи.

Обратите внимание: крайняя левая тетрада равна 1, то есть число является отрицательным. Это знаковый бит. Если бы число было положительным, то крайняя левая тетрада была бы равна 0. Для представления каждой цифры в числе требуется по четыре бита, а прочитать их можно непосредственно по шестнадцатеричным значениям, поскольку они совпадают с десятичными.

Для представления значений в диапазоне от –9 999 999,99 до 9 999 999,99 вам понадобится шесть байт: пять байт для десяти цифр и еще целый байт для знакового бита.

Такой формат записи дробных чисел называется записью с фиксированной точкой, поскольку после десятичного разделителя всегда следует определенное количество цифр, в нашем примере две. Важно: данные о положении этого разделителя не хранятся вместе с числом. Программам, работающим с числами в таком формате, необходимо сообщить, где находится этот разделитель. Вы можете создавать числа с любым количеством десятичных знаков, а также использовать их в одной и той же компьютерной программе. Однако любая часть программы, выполняющая над числами арифметические операции, должна знать, где находится десятичный разделитель.

Формат с фиксированной точкой хорошо работает только в том случае, если вы уверены, что числа не превысят размеры выделенных под них ячеек памяти, что вам не потребуется увеличивать количество десятичных знаков. Использование этого формата совершенно неуместно в ситуациях, когда числа могут стать слишком большими или маленькими. Предположим, вам нужно зарезервировать область памяти для хранения расстояний. Проблема в том, что эти расстояния могут значительно варьироваться. Расстояние от Земли до Солнца составляет 150 000 000 000 метров, а радиус атома водорода — 0,00000000005 метра. Для хранения значений в формате с фиксированной точкой, принадлежащих этому диапазону, придется выделить 12 байт памяти.

Возможно, мы сможем придумать более удобный способ хранения таких чисел, если вспомним, что ученые и инженеры выражают числа с помощью системы, называемой научной нотацией (экспоненциальная запись).

Научная нотация особенно полезна для представления очень больших и очень маленьких чисел, поскольку предусматривает использование степени числа 10, следовательно, позволяет обойтись без длинных строк нулей. В научной нотации следующие числа записываются следующим образом.

В этих двух примерах числа 4,9 и 2,6 называются дробной частью, или мантиссой (хотя этот термин более уместен для логарифмов). Однако я буду придерживаться компьютерной терминологии, называя этот фрагмент научной нотации значащей частью числа.

Порядок — это степень, в которую возводится число 10. В первом примере порядок равен 11, во втором — –10. Порядок показывает, на сколько мест был сдвинут десятичный разделитель в значащей части числа.

Существует соглашение, по которому значащая часть числа должна принадлежать интервалу от 1 (включительно) до 10. Несмотря на то что следующие числа равны, первый вариант представления является предпочтительным:

4,9 х 1011 = 49 х 1010 = 490 х 109 = 0,49 х 1012 = 0,049 х 1013.

Такая форма научной нотации иногда называется нормализованной[31].

Обратите внимание: знак показателя степени говорит только о порядке числа, но не о том, является ли оно отрицательным или положительным. Вот как выражаются отрицательные числа в научной нотации:

–5,8125 ? 107 соответствует –58 125 000;

–5,8125 ? 10–7 соответствует –0,00000058125.

В компьютерах вместо формата с фиксированной точкой используется формат с плавающей точкой, который идеально подходит для хранения малых и больших значений, поскольку основан на научной нотации. Однако применяемый в компьютерах формат с плавающей точкой подразумевает запись в научной нотации двоичных чисел, поэтому нам необходимо выяснить, как выглядят дробные числа в двоичном формате.

Все гораздо проще, чем может показаться. В десятичной записи числа цифры справа от десятичного разделителя соответствуют отрицательным степеням числа 10. В двоичной записи цифры справа от двоичного разделителя (который выглядит так же, как и десятичный) соответствуют отрицательным степеням числа 2. Давайте преобразуем двоичное число в десятичное.

101,1101 1 ? 4 +

0 ? 2 +

1 ? 1 +

1 ÷ 2 +

1 : 4 +

0 : 8 +

1 : 16

Операции деления можно заменить умножением на отрицательные степени числа 2:

1 ? 22 +

0 ? 21 +

1 ? 20 +

1 ? 2–1 +

1 ? 2–2 +

0 ? 2–3 +

1 ? 2–4.

Отрицательные степени числа 2 можно также рассчитать путем последовательного деления 1 на 2:

1 ? 4 +

0 ? 2 +

1 ? 1 +

1 ? 0,5 +

1 ? 0,25 +

0 ? 0,125 +

1 ? 0,0625.

В результате этого вычисления находим, что десятичный эквивалент двоичного числа 101,1101 равен 5,8125.

В десятичной научной нотации нормализованная значащая часть числа должна быть больше или равна 1, но меньше 10. Таким же образом в двоичной научной нотации нормализованная значащая часть числа должна быть больше либо равна 1, но меньше числа 10, которое соответствует 2 в десятичной системе счисления. Выразим число в двоичной научной нотации.

101,1101 1,011101 ? 22

Интересное следствие этого правила: слева от двоичного разделителя в нормализованном двоичном числе с плавающей точкой может стоять только 1.

У большинства современных компьютеров и программ, использующих числа с плавающей точкой, применяется стандарт, введенный в 1985 году Институтом инженеров электротехники и электроники (Institute of Electrical and Electronics Engineers, IEEE) и признанный Американским национальным институтом стандартов (American National Standards Institute, ANSI), — ANSI/IEEE Std 754–1985, стандарт IEEE для двоичной арифметики с плавающей точкой. В кратком описании этого стандарта, занимающем всего 18 страниц, хорошо изложены основы кодирования двоичных чисел с плавающей точкой.

Стандарт IEEE предусматривает два основных формата: число одинарной точности, занимающее в памяти четыре байта, и число двойной точности, занимающее восемь байт.

Сначала рассмотрим число одинарной точности. Оно состоит из трех частей: один бит отводится для знака (0 используется для положительного числа, а 1 — для отрицательного), восемь бит — для порядка, а 23 бита — для дробной значащей части числа, в которой самый младший бит — крайний справа.

1 знаковый бит (s)

8 битов порядка (e)

23 бита дробной значащей части (f)

Итого 32 бита, или четыре байта. Поскольку в значащей части нормализованного двоичного числа с плавающей точкой слева от двоичного разделителя всегда стоит 1, соответствующий ей бит не включается при сохранении числа в формате IEEE. Сохраняется только 23-битная дробная часть. Несмотря на то что для хранения значащей части числа используется только 23 бита, считается, что точность равна 24 битам. Чуть позже мы разберемся в том, что это значит.

Значение 8-битного порядка находится в диапазоне от 0 до 255. Такой порядок называется смещенным. Для нахождения истинного значения порядка с учетом знака необходимо вычесть из него число, называемое смещением. Для чисел одинарной точности с плавающей точкой смещение порядка равно 127.

Значения порядка 0 и 255 используются в особых случаях, о которых расскажу чуть позже. Если значение порядка принадлежит диапазону от 1 до 254, то число, представленное конкретными значениями s (бит знака), e (порядок) и f (дробная часть), равно:

(–1)s ? 1,f ? 2е − 127.

Выражение (–1)s используется для определения знака числа. Если s равно 0, то число положительное (поскольку любое число в степени 0 равно 1), если s равно 1, то число отрицательное (поскольку –1 в степени 1 равно –1).

Следующая часть выражения 1,f представляет 1, за которой следует двоичный разделитель и 23-битная дробная значащая часть. Все это умножается на 2, возведенное в степень, значением которой является разность хранящегося в памяти 8-битного смещенного порядка и числа 127.

Я не упомянул о способе выражения такого распространенного числа, как 0. Похоже, о нем мы и забыли. Для этого предусмотрено несколько особых случаев:

если e равно 0, f равно 0, то число равно 0; как правило, для представления числа 0 во все 32 бита записываются нули, однако бит знака может быть равен 1, и в этом случае число интерпретируется как отрицательный ноль; бит может обозначать очень маленькое отрицательное число, для представления которого с одинарной точностью доступных цифр и порядков недостаточно;

если e равно 0, а f не равно 0, то число является действительным, но не нормализованным:

(–1)s ? 0,f ? 2–127;

обратите внимание на 0 слева от двоичного разделителя значащей части;

если e равно 255, а f равно 0, то число символизирует положительную или отрицательную бесконечность — в зависимости от знака s;

если e равно 255, а f не равно 0, то значение считается «не числом» и обозначается аббревиатурой NaN (Not a Number — «не число»); NaN может указывать на неизвестное число или на результат недопустимой математической операции.

Наименьшее нормализованное положительное или отрицательное двоичное число, которое можно представить с одинарной точностью в формате с плавающей точкой, следующее:

1,00000000000000000000000ДВА ? 2–126.

В этом числе после двоичного разделителя следуют 23 двоичных нуля. Наибольшее нормализованное положительное или отрицательное двоичное число, которое можно представить с одинарной точностью в формате с плавающей точкой, следующее:

1,11111111111111111111111ДВА ? 2127.

В десятичной системе счисления эти два числа приблизительно равны 1,175494351 ? 10–38 и 3,402823466 ? 1038. Именно этими числами ограничивается диапазон чисел с плавающей точкой одинарной точности.

Вероятно, вы помните, что десять двоичных цифр примерно эквивалентны трем десятичным цифрам. Под этим подразумеваю, что двоичное число, состоящее из десяти единиц, которое соответствует числу 3FFh в шестнадцатеричном формате и 1023 в десятичном, приблизительно равно числу из трех девяток, то есть 999. Таким образом:

210 ≈ 103.

Из этого соотношения следует, что 24-битное двоичное число одинарной точности в формате с плавающей точкой приблизительно эквивалентно десятичному числу, состоящему из семи цифр. По этой причине считается, что число одинарной точности в формате с плавающей точкой имеет точность до 24 битов, или около семи десятичных знаков. Что это значит?

Точность числа с фиксированной точкой очевидна. Например, денежная сумма, выраженная в виде числа с фиксированной точкой, имеющего два десятичных знака, определена с точностью до цента. Однако о числах с плавающей точкой мы не можем сказать ничего подобного. В зависимости от значения порядка число с плавающей точкой может иметь точность до долей цента или до десятков долларов.

Правильнее было бы сказать, что число одинарной точности с плавающей точкой имеет точность до одной части из 224 (одной части из 16 777 216, примерно до шести частей из 100 миллионов). Что это значит на самом деле?

Во-первых, если вы попытаетесь выразить значения 16 777 216 и 16 777 217 в виде чисел одинарной точности с плавающей точкой, они окажутся одинаковыми. Более того, любое число в промежутке между этими двумя значениями (например, 16 777 216,5) тоже будет совпадать с ними. Все три десятичных числа сохраняются в памяти в виде 32-битного числа одинарной точности с плавающей точкой, которое, будучи разделенным на биты знака, порядка и значащей части, выглядит следующим образом.

4B800000h

0 10010111 00000000000000000000000

И оно эквивалентно

1,00000000000000000000000ДВА ? 224.

Следующее значение, выраженное двоичным числом с плавающей точкой, эквивалентно числу 16 777 218:

1,00000000000000000000001ДВА ? 224.

Хранение двух разных десятичных значений в виде одинаковых чисел с плавающей точкой не всегда создает проблемы.

Правда, если при написании банковской программы вы используете числа одинарной точности с плавающей точкой для хранения денежных сумм в долларах и центах, вас, вероятно, будет беспокоить то, что 262 144,00 доллара равны 262 144,01 доллара. Обе эти суммы выражаются числом:

1,00000000000000000000000ДВА ? 218.

Это одна из причин, почему при работе с долларами и центами предпочтительнее применять формат с фиксированной точкой. При использовании чисел с плавающей точкой вы можете обнаружить и другие раздражающие нюансы. Например, программа, выполняющая вычисление, в результате которого должно получиться число 3,50, выдает значение 3,499999999999. Так часто бывает при использовании чисел с плавающей точкой, и с этим ничего нельзя поделать.

Если вы твердо решили остановиться на числах с плавающей точкой, но вам недостаточно одинарной точности, попробуйте применить числа с плавающей точкой двойной точности. Числа в этом формате занимают восемь байт памяти, распределенных следующим образом.

1 знаковый бит (s)

11 бит порядка (e)

52 бита дробной значащей части (f)

Смещение порядка равно 1023, или 3FFh, поэтому число в этом формате записывается так:

(–1)s ? 1,f ? 2е − 1023.

К нулю, бесконечности и значениям NaN применяются правила, аналогичные тем, которые мы рассматривали, когда говорили о числах одинарной точности.

Наименьшее положительное или отрицательное число двойной точности с плавающей точкой следующее:

1,0000000000000000000000000000000000000000000000000000ДВА ? 2–1022.

В этом числе после двоичного разделителя следуют 52 нуля. Наибольшее число:

1,1111111111111111111111111111111111111111111111111111ДВА ? 21023.

Соответствующие десятичные числа формируют диапазон примерно от 2,2250738585072014 ? 10–308 до 1,7976931348623158 ? 10308. Число 10308 очень велико, оно представляет единицу с 308 нулями.

Пятидесятитрехбитная значащая часть числа (включая первый неучитываемый бит) приблизительно эквивалентна 16 десятичным знакам. Это уже намного лучше формата с одинарной точностью, однако вероятность того, что какое-то число однажды станет равно другому, по-прежнему существует. Возьмем, к примеру, числа 140 737 488 355 328,00 и 140 737 488 355 328,01. Они оба будут храниться в виде 64-битного числа двойной точности с плавающей точкой:

42E0000000000000h.

В двоичном формате это число выглядит так:

1,0000000000000000000000000000000000000000000000000000ДВА ? 247.

Разумеется, разработка формата для хранения в памяти чисел с плавающей точкой является лишь небольшим этапом в процессе фактического использования этих чисел в программах, написанных на языке ассемблера. Если бы вы конструировали компьютер с нуля, сейчас бы возникла проблема создания набора функций для сложения, вычитания, умножения и деления чисел с плавающей точкой. К счастью, эти задачи можно разбить на более мелкие подзадачи, связанные со сложением, вычитанием, умножением и делением целых чисел, решать которые вы уже научились.

Например, сложение чисел с плавающей точкой сводится к сложению их значащих частей; сложность заключается лишь в порядках. Предположим, вам необходимо выполнить следующую операцию сложения:

(1,1101 ? 25) + (1,0010 ? 22).

В данном случае нужно сложить числа 11101 и 10010, однако второе число необходимо преобразовать с учетом разницы в значениях порядков. Фактически требуется сложить целые числа 11101000 и 10010. Итоговая сумма составит:

1,1111010 ? 25.

Иногда разница в порядках может быть такой большой, что одно из двух чисел даже не повлияет на сумму. Это может произойти, например, при сложении расстояния от Земли до Солнца и радиуса атома водорода.

Перемножение двух чисел с плавающей точкой сводится к перемножению двух значащих частей как обычных целых чисел и сложению двух целочисленных значений порядков. Нормализация значащей части может привести к уменьшению нового значения порядка.

Следующий уровень сложности при использовании чисел с плавающей точкой связан с вычислением квадратных корней, степеней, логарифмов и тригонометрических функций. Однако все эти задачи можно решить с помощью четырех основных операций: сложения, вычитания, умножения и деления.

Например, такая тригонометрическая функция, как синус, вычисляется с помощью разложения в ряд.

Аргумент x должен выражаться в радианах, где 360° — это 2π радиан, восклицательный знак — факториал числа, или произведение всех целых чисел от 1 и до этого числа. Например, 5! = 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5. В данном случае все сводится к простому умножению. Возведение числителей дробей в степень тоже предполагает умножение. Остальными операциями являются деление, сложение и вычитание. Единственная по-настоящему сложная часть — многоточие в конце выражения, означающее, что это вычисление может продолжаться бесконечно. На практике если вы ограничитесь диапазоном от 0 до π/2 (из которого можно вывести все остальные значения синуса), то сможете избежать лишних вычислений. Вам достаточно десятка слагаемых в этом разложении для получения 53-битных значений двойной точности.

Если учесть, что компьютеры предназначены для того, чтобы облегчать людям жизнь, может показаться, что написание множества подпрограмм для выполнения арифметических операций с плавающей точкой противоречит цели их создания. Однако в этом вся прелесть программного обеспечения. Написанные кем-то подпрограммы для конкретного компьютера могут использоваться другими людьми. Арифметика с плавающей точкой настолько важна для научных и инженерных приложений, что ей традиционно придается огромное значение. На заре компьютерной эры при создании программного обеспечения для нового типа компьютеров написание подпрограмм для выполнения расчетов с плавающей точкой было одной из первоочередных задач.

Целесообразно разработать машинные инструкции специально для выполнения вычислений с плавающей точкой! Очевидно, это легче сказать, чем сделать, однако важность такой задачи трудно переоценить. Если вы сможете реализовать арифметику с плавающей точкой на уровне аппаратного обеспечения, подобно командам умножения и деления в 16-разрядных микропроцессорах, то все вычисления с плавающей точкой будут выполняться компьютером гораздо быстрее.

Первым коммерческим компьютером, в котором вычисления с плавающей точкой могли осуществляться на аппаратном уровне, был IBM 704, выпущенный в 1954 году. Все числа в нем хранились в виде 36-битных значений. Числа с плавающей точкой разбивались на 27-битную значащую часть, 8-битный порядок и однобитный знак. Специальные аппаратные компоненты для расчетов с плавающей точкой могли выполнять операции сложения, вычитания, умножения и деления. Остальные функции реализовывались в программном обеспечении.

В настольном компьютере аппаратное обеспечение для вычислений с плавающей точкой появилось в 1980 году, когда компания Intel выпустила чип 8087. Интегральные микросхемы такого типа в наши дни называются математическими сопроцессорами, или блоками вычислений с плавающей точкой. Микросхема 8087 была названа сопроцессором, поскольку не могла работать сама по себе. Ее можно было использовать только в сочетании с первыми 16-разрядными микропроцессорами Intel 8086 и 8088.

Сопроцессор 8087 — микросхема с 40 выводами, которая использует многие из тех же сигналов, что и микропроцессоры 8086 и 8088. С помощью этих сигналов микропроцессор и математический сопроцессор взаимодействуют. Когда ЦПУ считывает специальную команду ESC (Escape), сопроцессор перехватывает управление и выполняет следующий машинный код, соответствующий одной из 68 команд для вычисления тригонометрических функций, степеней, логарифмов и т. д. Типы данных основаны на стандарте IEEE. В свое время сопроцессор 8087 считался самой сложной интегральной схемой.

Сопроцессор можно назвать небольшим автономным компьютером. В ответ на получение конкретной машинной инструкции для выполнения операции с плавающей точкой (например, команды FSQRT для вычисления квадратного корня) сопроцессор выполняет собственную последовательность команд, сохраненных в ПЗУ. Эти внутренние команды называются микрокодом. Как правило, эти вычисления осуществляются с помощью цикла, поэтому их результат предоставляется не сразу. Тем не менее математический сопроцессор обычно решает задачи по меньшей мере в десять раз быстрее, чем эквивалентные процедуры, реализованные в виде ПО.

Материнская плата первого компьютера IBM PC предусматривала 40-контактное гнездо для микросхемы 8087 рядом с процессором 8088. К сожалению, это гнездо было пустым. Пользователям, которым требовалось ускорить операции с плавающей точкой, приходилось приобретать микросхему 8087 отдельно и самостоятельно устанавливать ее. Однако даже после установки математического сопроцессора не все приложения начинали работать быстрее. Некоторые программы, например текстовые редакторы, практически не нуждаются в вычислениях с плавающей точкой. Другие программы, вроде электронных таблиц, могут выполнять подобные вычисления гораздо чаще, поэтому они должны работать быстрее, однако от использования этой микросхемы скорость работы увеличивалась далеко не у всех приложений.

Дело в том, что программистам нужно было писать специальный код для использования машинных инструкций сопроцессора. Поскольку математический сопроцессор не являлся стандартным компонентом аппаратного обеспечения, многие себя этим не утруждали. В конце концов им все равно приходилось писать собственные подпрограммы для вычислений с плавающей точкой (поскольку у большинства пользователей не было математического сопроцессора), поэтому микросхема 8087 не освободила их от лишней работы, а наоборот, выявила дополнительные задачи. Со временем программисты научились писать приложения для использования математического сопроцессора, если он входил в состав компьютера, и эмулировать его работу, если не входил.

В дальнейшем компания Intel также выпустила математические сопроцессоры 287 и 387 для микропроцессоров 286 и 386 соответственно. В 1989 году появился процессор Intel 486DX, в который сопроцессор был встроен. С тех пор он перестал быть дополнительным компонентом. К сожалению, в 1991 году Intel сконструировала более дешевый микропроцессор 486SX без встроенного сопроцессора, а также отдельный математический сопроцессор 487SX. Однако с изготовлением процессора Pentium в 1993 году встроенный сопроцессор снова стал стандартом, вероятно навсегда. Компания Motorola интегрировала сопроцессор в микросхему 68040 в 1990 году. До этого Motorola продавала математические сопроцессоры 68881 и 68882 для изготовленных ранее микропроцессоров семейства 68000. Микросхемы PowerPC также предусматривают встроенный сопроцессор для выполнения вычислений с плавающей точкой.

Несмотря на то что аппаратный компонент для операций с плавающей точкой — подспорье для ассемблерного программиста, это устройство кажется малозначимой вехой в истории развития вычислительной техники, особенно если сравнивать с другими разработками, начатыми в 1950-х годах. Далее мы поговорим о языках программирования.

<< | >>
Источник: Чарльз Петцольд. Код. Тайный язык информатики. 2019

Еще по теме Глава 23 Фиксированная точка, плавающая точка:

  1. Точка отсчета.
  2. V. Пивотная точка
  3. Хобби как точка опоры
  4. Что такое точка безубыточности?
  5. МБА как точка отсчета
  6. Торговые решения: точка зрения трейдеров
  7. Результаты стратегии «покупатьидержать»: индекс Standard & Poor's 500 как точка отсчета
  8. 13.6. Графики "точка-крестик" (point-and-figures charts)
  9. Система "плавающих" окладов
  10. Облигации и векселя с «плавающей» ставкой
  11. дефицит, поскольку спрос на количество продукции превышает предложение этой продукции, т. е. Qd > Qs. Это зона отсутствия риска, так как товара не хватает и его будут покупать, даже если цена увеличится. 9 р – перепроизводство, потому что спрос на количество продукции ниже предложения этой продукции, т. е. Qd < Qs. Это зона повышенного риска от увеличения цены, поскольку в любом случае наблюдается перепроизводство и затоваривание, а при повышении цены этот процесс прогрессирует. О – точка равнов
  12. Размер фиксированного платежа
  13. Метод фиксированного процента